Pembuktian Matematika dan Q.E.D. (Quod Erat Demonstrandum)

Dalam matematika, bukti adalah serangkaian argumen logis yang menjelaskan kebenaran suatu pernyataan, di mana argumen-argumen tersebut dapat berasal dari premis pernyataan itu sendiri, teorema-teorema lainnya, definisi, dan akhirnya dapat berasal dari postulat dimana sistem matematika tersebut berasal. Pembuktian matematika dapat didefinisikan sebagai sebuah demonstrasi yang meyakinkan atas rumus, teorema itu benar, dengan bantuan logika dan matematika.

Ada beberapa metode pembuktian matematika, diantaranya: pembuktian langsung, induksi, kontraposisi, kontradiksi, trivial, dan sebagainya. Sebagai contoh, misalnya pembuktian langsung berikut ini:

Misalkan M suatu titik di dalam segitiga ABC. Buktikan bahwa AB + AC > MB + MC

Pembahasan: Misalkan N adalah titik perpotongan BM dan sisi AC. Maka diperoleh AB + AC = AB + AN + NC = BM + MN + NC > BM + MC 

Apa itu Q.E.D.?

Q.E.D. adalah singkatan dari frasa bahasa Latin Quod Erat Demonstrandum yang berarti "yang sudah dibuktikan" atau "yang sudah terbukti". Frasa ini ditulis dalam bentuk singkatan (Q.E.D.) pada akhir dari pembuktian matematika atau argumen filosofi sebagai pernyataan terakhir dari sesuatu yang telah dibuktikan, yang menandakan bahwa pembuktian telah selesai.

Q.E.D pada terjemahan tahun 1872 dari Elemen Euklides. Sumber: wikimedia.org

Pada masa Renaisans Eropa, para sarjana sering menulis dalam bahasa Latin dan frasa seperti Q.E.D. sering digunakan untuk melengkapi suatu pembuktian. Contoh penggunaan Q.E.D mislanya pada Ethics karya Baruch Spinoza(1632-1677). Dalam bahasa Yunani, frasa ini ditulis sebagai ὅπερ ἔδει δεῖξαι (hoper edei deixai, disingkat ΟΕΔ). Frasa ini sering digunakan oleh ahli matematika terdahulu seperti Euklides dan Archimedes.

Q.E.D. yang digunakan pada Proposisi III Ethics karya Spinoza. Sumber: wikimedia.org

[**Baca juga entri lain di blog ini tentang Euklides: "Proposisi Euklides I.47: Segitiga Freemasonry" ; "Bapak Geometri Euklides(Euclid) yang Misterius & Euclid's Element" ; "Eksperimen Potong Kertas Proposisi Euklides I.47" **]

Q.E.D. dan Q.E.F.

Frasa Latin lain yang mempunyai arti kurang lebih sama dengan Q.E.D. namun jarang digunakan adalah Q.E.F. yang merupakan singkatan dari quod erat faciendum yang berarti "yang sudah dilakukan". Frasa ini jika ditulis dalam bahasa Yunani adalah ὅπερ ἔδει ποιῆσαι (hoper edei poiēsai).

Dalam translasi bahasa Yunani ke bahasa Latin, Euklides menggunakan singkatan Q.E.F untuk bagian akhir pembuktian sebuah konstruksi dan menggunakan singkatan Q.E.D untuk bagian akhir pembuktian teorema. Misalnya dalam karyanya Elements buku ke I, Euklides menggunakan Q.E.F untuk proposisi 1 dan Q.E.D untuk proposisi 47.

Q.E.D. dengan simbol lain dan Q.E.D pada bahasa lain

Beberapa simbol terkadang digunakan untuk makna yang sama dengan QED, simbol-simbol yang digunakan misalnya:

- Simbol persegi penuh (∎, Unicode U+220E, sebagaimana digunakan pada Mathematics Magazine and American Mathematical Monthly, simbol yang kerap disebut juga sebagai halmos, yang diambil dari nama salah satu matematikawan The Martians bernama Paul Halmos (1916-2006).

- Persegi panjang penuh (▮).

- Persegi kosong  ().

- Segitiga Play Button Youtube (‣).

Singkatan Q.E.D. sendiri telah diterjemahkan dan digunakan dalam berbagai bahasa, antara lain:

- dalam bahasa Prancis, frasa ini ditulis C.Q.F.D. singkatan dari Ce Qu'il Fallait Démontrer (atau kadang-kadang ditulis Ce Qui Finit la Démonstration).

- dalam bahasa Jerman, frasa ini ditulis W.Z.B.W. singkatan dari Was Zu Beweisen War.

- dalam bahasa Italia, ditulis C.V.D. singkatan dari Come Volevasi Dimostrare.

- dalam bahasa Spanyol, ditulis C.Q.D. singkatan dari Como Queríamos/se Queria Demonstrar.

- dalam bahasa Rusia, ditulis ч.т.д. singkatan dari что и требовалось доказать.

- dalam bahasa Arab, ditulis ث ط هـ, singkatan dari وهو المطلوب إثباته‎

Bagaimana dengan bahasa Indonesia? Saya belum tahu pasti aturannya, namun semasa saya bersekolah dulu, guru-guru saya kerap menggunakan singkatan TBT, kependekan dari “terbukti” atau “telah terbukti”.😀

EPILOG

Manga Q.E.D vol 47. Sumber gambar: goodreads.com

Q.E.D. (Quod Erat Demonstrandum) dipakai oleh mangaka Motohiro Katou untuk salah satu judul manganya yang bergenre cerita detektif. Manga Q.E.D (キューイーディー しょうめいしゅうりょう）pertamakali diterbitkan dalam majalah bulanan GREAT pada bulan Juli 1997 oleh Kodansha. Total ada 50 volume manga Q.E.D. yang tamat pada Agustus 2014 ini.

Saya kutip dari halaman wikipedia: Q.E.D. bercerita tentang So Toma, seorang anak remaja yang memilih bersekolah di SMA di Jepang walaupun sudah berkuliah di MIT. Di sekolah tersebut, Toma bertemu dengan Mizuhara, teman sekelasnya yang merupakan putri dari seorang inspektur polisi. Toma adalah anak yang pendiam dan suka menyendiri di atap sekolahnya. Sementara Mizuhara adalah tipe gadis yang lincah, cerewet, suka menang sendiri.

Bagaimana pendapat saya tentang manga ini? Saya tidak bisa menjawab karena belum membacanya. Saya sendiri lebih dulu mengenal istilah Q.E.D. sebagai singkatan yang digunakan pada bagian akhir matematika dibandingkan manga berjudul Q.E.D. ini. Namun, anda bisa mencari review manga Q.E.D., misalnya review oleh user Gusfina di situs goodreads ini.